假设检验

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# 假设检验

概念解释

假设检验是用样本证据判断一个原假设 $H_0$ 是否与数据明显冲突。它不是证明 $H_0$ 为真或为假，而是在预设错误率下决定是否拒绝 $H_0$。

公式与计算

基本要素包括原假设 $H_0$、备择假设 $H_1$、显著性水平 $\alpha$、检验统计量 $T(X)$ 和拒绝域。

常见 $z$ 检验：

$$ Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} $$

若双侧检验且 $\alpha=0.05$，当 $|Z|>1.96$ 时拒绝 $H_0$。

$p$ 值表示：在 $H_0$ 成立时，观察到当前或更极端数据的概率。若 $p<\alpha$，拒绝 $H_0$。

与其他名词的关联

• 最大似然估计：似然比检验比较 $H_0$ 与 $H_1$ 下的最大似然。
• 置信区间：若 $\mu_0$ 不在 95% 置信区间内，通常拒绝 $\alpha=0.05$ 的双侧检验。
• 渐近正态性：大样本检验常依赖统计量的渐近正态分布。
• ../人工智能/模型评估：A/B 测试、模型效果差异、指标提升是否显著都属于检验问题。

典型应用场景

• 判断新药是否优于安慰剂。
• 判断新模型准确率是否显著高于旧模型。
• 判断样本均值是否偏离历史基准。
• 检验极端事件频率是否发生结构性变化。

易错点

• $p<0.05$ 不表示 $H_0$ 为假的概率是 95%。
• 不拒绝 $H_0$ 不等于接受 $H_0$。
• 样本量很大时，微小差异也可能显著；还要看效应量。

课后习题

1. $Z=2.3$ 的双侧 $z$ 检验在 $\alpha=0.05$ 下是否拒绝 $H_0$？
2. 如果 95% 置信区间为 $[1.2,2.8]$，检验 $H_0:\mu=0$ 会怎样？
3. 模型 A 准确率 0.91，模型 B 准确率 0.90，能否直接说 A 显著更好？

答案

1. 拒绝，因为 $|2.3|>1.96$。
2. 拒绝，因为 0 不在区间内。
3. 不能。需要样本量、配对关系和检验方法，例如 McNemar 检验或 bootstrap。